"Z MATEMATYKĄ NA TY"



 

Strona główna
System dwójkowy

Liczby naturalne

·          Liczby złożone

Liczby złożone to takie liczby naturalne n które są iloczynem co najmniej dwóch liczb naturalnych większych  od 1.

Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele 4, 6, 8, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, ..............

·          Liczby pierwsze

Liczby pierwsze to takie liczby naturalne p > 1, których jedynymi dzielnikami są liczby 1 oraz p. Liczby 1 nie zalicza się do liczb pierwszych.
Kolejnymi liczbami pierwszymi są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych (twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides). Każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo iloczynem liczb pierwszych. W III w. p.n.e. matematyk grecki Eratostenes z Cyreny podał metodę wyznaczania liczb pierwszych, zwaną sitem Eratostenesa.

Sito Eratostenesa

       Aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze wśród liczb od 1 do 100 należy ustawić liczby w ciąg:

   1    2   3  4   5   6   7   8   9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

  Skreślić1 ponieważ nie jest liczbą pierwszą.

 Listę rozpoczyna liczba 2. Jest to liczba pierwsza. Należy wykreślić wszystkie liczby większe od 2 i podzielne przez 2. Najmniejszą liczbą po liczbie 2 jest teraz liczba 3 (jest to liczba pierwsza - gdyby nią nie była, to dzieliłaby się przez 2, ale wtedy byłaby wykreślona). Następnie należy wykreślić z listy wszystkie liczby większe od 3 i podzielne przez 3. Najmniejszą liczbą na liście po liczbie 3 jest liczba 5. Jest to liczba pierwsza. Skreślamy teraz wszystkie liczby podzielne przez 5 i większe od 5. Najmniejszą liczbą na liście po liczbie 5 jest liczba 7. Jest ona liczbą pierwszą. Wykreślamy wszystkie jej wielokrotności. Najbliższą liczbą pierwszą jest 11. W ten sposób można znaleźć wszystkie liczby pierwsze od 1 do 100.

    1   2   3  44   5   6   7   8   9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51
52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81
82 83 84 85 86 87 88 89 90
91
92 93 94 95 96 97 98 99 100 

Oto one: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,  47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Do znalezienia wszystkich liczb pierwszych wystarczy badać liczby pierwsze niewiększe od p. Dzieje się tak dlatego, że biorąc pod uwagę liczbę pierwszą p, zaczynam skreślanie od liczby 2p - mniejsze wielokrotności p są już skreślone (dzielą się przez liczbę mniejszą od p).
Można wyróżnić następujące rodzaje liczb pierwszych:

- Liczby bliźniacze to dwie liczby pierwsze różniące  się o 2.
Np. (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), ...
Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.

- Liczby czworacze to takie liczby: p, p+2, p+6, p+8, że każda z nich jest liczbą pierwszą.
Np.: 5, 7, 11, 13;
821, 823, 827, 829.
Liczby te, podobnie jak liczby bliźniacze są jeszcze słabo zbadane, ale już na początku lat 80 największe znane liczby czworacze miały ponad 40 cyfr w zapisie dziesiętnym.

- Liczba pierwsza izolowana to taka liczba  p, jeśli najbliższa liczba pierwsza różni się od niej co najmniej o 4.
Np.: 157, 173.
Liczb izolowanych jest nieskończenie wiele. Dowodem może być choćby fakt, że każda liczba pierwsza postaci 45n+7 jest izolowana.

- Liczba Sophie Germain  to liczba pierwsza p wówczas, gdy liczba 2p+1 także jest liczbą pierwszą.
Np.: 5, 11, 23, 29.
Liczby te badano w związku z wielkim twierdzeniem Fermata. Nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele, ale prawdopodobieństwo trafienia na liczbę Sophie Germain wśród n początkowych liczb pierwszych dąży, dla n dążącego do nieskończoności, do zera.

·          Liczby doskonałe

Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:

D6={1,2,3}

i 1+ 2+ 3 = 6

D28={1,2,4,7,14}

i 1+ 2+ 4+ 7+ 14 = 28

D496={1,2,4,8,16,31,62,124,248}

i 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 31+ 62+ 124+ 248 = 496

·          Liczby zaprzyjaźnione

Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby).
Przykładem liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.
Dzielniki właściwe liczby 220 to: D220={1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55+ 110 = 284
Dzielniki właściwe liczby 284 to: D284={1,2,4,71,142}
1+ 2+ 4+ 71+ 142 = 220

·          Liczby palindromiczne

Palindromem nazywamy liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca. Przykłady liczb palindromicznych: 55, 494, 30703, ...

·          Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to pary liczb, które czytane od tyłu wyglądają tak samo jak liczba z pary czytana normalnie, np: 28 i 82, 17 i 71, 25 i 52.

·          Liczby automorficzne

Liczby automorficzne to takie liczby, których kwadrat kończy się na tymi samymi cyframi, co sama liczba. Np. 76 bo 762 = 5776